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课程目录

1.课程简介及算法分析

2.渐近符号、递归及解法

3.分治法（1）

4.快排及随机化算法

5.线性时间排序

6.顺序统计、中值

7.哈希表

8.全域哈希和完全哈希

9.二叉搜索树

10.平衡搜索树

树的结构，如果不能保持平衡，那么其搜索性能会大大打折扣，而本节课介绍了几种经典的平衡树，如AVL，2-3-4tree，红黑树等等，然后着重讲了红黑树，接下来就红黑树的基本性质，作一些简短的总结。

首先，红黑树除了具有BST的基本性质外，还额外拥有以下的五大基本性质：

1）每个结点有一个色域，一个结点要么为黑结点，要么为红结点

2）根节点为黑结点

3）每个叶子结点都为黑结点（无键值）

4）每个红结点的父亲都为黑结点，即不可能出现两个红色结点相连的情况

5）从根节点到任意叶节点的路径中的黑色结点数目相等，这个数目也称为黑高度

由以上5点性质，可以保证红黑树的高度为O（lgn），证明如下：

将红黑树的所有红结点，都与其父节点（由性质四得其父节点必定为黑）合并，可以得到一颗2-3-4 tree（即每个结点的子节点数目为2~4个），由数据结构知识可得，原红黑树的叶子结点个数为带键值结点个数n+1，假设整棵树高度为h，那么叶子结点数应为h^2~h^4,因此有h^2<=n+1<=h^4,即此时树高度最高也只有log n+1，即树的黑高度为log n+1,根据性质3，树最高情况也不过是红黑相间的时候，因此其高度最高只有2log n+1 ，即树的高度为O（lgn）。

红黑树的查询操作和普通BST一样，而删除和插入操作则相对复杂，因为我们要保证红黑树的5大性质，为什么需要保证这五大性质呢？因为这五大性质是红黑树为平衡树的保证，能够保证红黑树的高度为Olgn，这样红黑树的基本操作（删，插，查）都可以保证在Olgn的时间复杂度内完成。

接下来简单介绍一下插入操作是如何完成的,删除操作思路类似:

插入操作的原理就是插入一个红结点，然后通过向上重染色和旋转的方式维持红黑树的性质

这里有三种情况

case1 xa0直线型且祖父结点为黑，父节点和父亲兄弟结点为红将祖父结点的黑传递到两个红子节点 xa0 每次向上传 xa0 xa0 xa0递2个结点，树高度2lgn 所以操作为O（lgn）

case2 xa0zigzag Z型父亲兄弟结点为黑旋转为case3 xa0 O（1）的旋转

case3 xa0zigzig直线型旋转

由以上三种情况可得，插入的时间复杂度为重染色的Olgn+不超过3次的O(1)的旋转操作

这里值得一提的是，在实际的运用中，虽然向上重染色理论上花费的时间多于旋转，但是当多个用户并发查询访问红黑树的时候，重染色并不会影响查询，因为用户并不关心每个结点的颜色，但是旋转需要锁定该子树及其结点，可能会影响并发查询的操作。

最后，就AVL和红黑树做一下比较，就平衡程度而言，AVL是追求的绝对平衡，任意叶子结点的深度不会多于其他叶子结点深度+1，而红黑树只要求局部平衡，其红黑性保证了其平衡性，因此在维护平衡方面，红黑树只需要不超过3次旋转即可，这一点是AVL树所做不到的，但查询方面，由于AVL是绝对平衡，因此效率会略高于红黑树，实际应用中这一点并不明显，就统计性能而言，红黑树会优于AVL，而C++ STL中的set、multiset、map、multimap等，都是红黑树的一种变体。

值得一提的是，平衡树都是动态的数据结构，其优势在于动态操作下，也能保持优越的查询效率，如果是静态数据，那么使用hash表效率会更高一些。

11.扩充的数据结构、动态有序统计和区间树

本节课主要讲了如何构造自己想要的数据结构，或者扩充已有数据结构的功能，以实现想要的特定功能

比如设计一个动态结构，满足功能寻找第k大的数

其做法是维护每个结点的子结点个数来推导其秩，而不维护其秩，因为动态操作会使得其难以维护

红黑树的插入操作 1.树插入 2.rebalance

构造自己需要的扩充数据结构的基本流程

1.选择一个基本的数据结构例如红黑树

2.决定要添加到结点的基本信息 xa0例如实现查询第k大数功能，应添加的基本信息为所有子树结点之和，而非直接保存该结点键值的秩

3 维持插入+旋转/删除+旋转

4 封装为函数，实现其功能

12.跳跃表

跳跃表是一种简单又有趣的动态搜索数据结构，其主要优点在于其易于实现，而且很好的保证了其具有高效的性能，即2*O（lgn）的搜索性能

在此之前我想首先谈谈链表，链表的优点在于其插入和删除只需要常数项的时间（加上查找该元素需要额外的O（n）时间），但是其查找效率只有O（n），这里顺带补充一下链表类的问题，以下先给出两个BAT公司面试时热衷于考的两个链表经典问题：

1.如何快速查找单向链表倒数第m个元素

2.如何快速判断一个单向链表是否存在环

对于链表类问题，其核心思想不外乎两点，1是开双指针（甚至多指针），2是开双链表（甚至多链表），其实以上两个问题开双指针便能巧妙地解决，第一个问题，先开一个指针走m步，然后再开一个指针同步走，当前一个指针走到链表末端时，后一个指针就正好指向倒数第m个元素了，第二个问题，开一个快指针和一个慢指针，快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步，如果存在环，那么快指针一定会追到慢指针，可以想象两个人在操场赛跑，快的人跑了很久之后会超慢的人一圈。

接下来我们继续谈跳跃表，其实跳跃表用到的就是第二个思路，开双链表甚至多个链表

首先考虑建立两个链表L1和L2，L1为快表，即只保存部分元素，L2为慢表保存全部元素，注意，以下提到的链表均为排好序的链表

当我们要搜索某一元素时，我们先走快表，因为快表只保留了部分元素，所以是跳跃前进的，直到快表走过该元素，我们再退回快表前一个结点换到慢表继续走，这样效率显然比在慢表上进行线性查找要好一些，这里的快慢表就像美国地铁的快慢线地铁一样，快线的地铁只在几个站停顿，而慢线会在所有站停顿，乘客可以先乘快线到一个最接近目的地的前一个站，再转乘慢线到达该地

那么问题来了？

如何建表L1和 L2呢？L2无疑是一条包含所有结点的单向链表，那么L1应该设置多少个结点最为合理呢，直观上感受L1应该是均匀分布最好，那么是以怎样的密度分布最合适呢？

我们不难得出查找时间上界为|L1|+|L2|/|L1|+换乘的常数，这里|L1|表示L1的长度（最坏情况就是L1走到末端后，走回一个节点然后进入L2，因为L2可以看做被L1分成了L1个段，所以每段长度为|L2|/|L1|，所以为|L1|+|L2|/|L1|+换乘的常数），因为L2长度为n（包括整个链表），换乘即链表L1向下走到L2的时间，为常数，所以我们的目标是要使得|L1|+n/|L1|最小，即|L1|为sqrt（n）时最优（可以求导得出或者通过其他数学方法，证明略），此时时间消耗为2*sqrt（n），即每隔sqrt（n）设立一个快表的结点，共sqrt（n）个快表结点

什么？sqrt（n）还不过瘾？

那么我们还能做怎样的优化呢？答案是加更多的链表，我们看看三条链表应是多少,直觉告诉我们是3*n的1/3次方

其实，可以证明k条链表的时候为k*n的1/k次方

因为n是常数，那么k多大比较合适呢？lgn！让我们看看k取lgn的时候为多少，即lgn*n^(1/lgn)为多少，即求lgn*n^logn（2），还记得我们计算递归时间复杂度时的换底公式吗？这里n^logn(2)即2^logn(n)即2^1，即2，所以整个时间复杂度为2*lgn，这是一个非常好的性能。

这种情况下的跳跃表称为理想跳跃表，每一层数量减少一半，总共lgn层链表，从最上级链表开始搜，搜不到就向下，最多下logn层，每层最多搜2个元素，所以搜索复杂度为O（2lgn）

那么问题又来了，如何动态维护这样一个跳跃表呢？

先看删除功能,删除功能只要从上级链表搜到之后，就可以直接删除，并向下将所有链表的该结点都删除，这个比较简单，那么插入呢？

插入（x）先search（x）在底表的位置然后插入该元素，是否结束了呢？不，因为在某一段连续插入若干个结点后，这一段会变得非常长，整个跳跃表的平衡结构无疑会被打破，那么如何维护理想线段表的结构呢？

1.保持每段之间的理想距离，如果距离过大，就从中间分割，然后将中点上升一层结点

这个方法从直观上看非常巧妙，但是实行起来却有一定难度，因为你必须实时记录每一段的长度

2.采用我们最喜欢的随机化算法，抛硬币如果正面，就把这个结点提升一个level（即把该结点也加入上一级的链表中），再抛硬币（看是否持续提升level），因为两个相邻链表的长度之比为1:2，而硬币出正面的概率也是50%，事实证明这样做是可行的，这里值得一提的是，老师在这节课发了两个硬币给同学，一个利用抛硬币产生随机数，一个利用抛硬币决定当前插入结点是否需要提升level，在课堂上直接做起了实验，整个课程氛围也很好，也让同学们都对该算法有了直观的理解，这一种教学方式很值得借鉴

注意，这里需要考虑一个特殊情况，就是当我们插入的元素为最小的元素时，如果它没有提升一个level，那么上级链表的开头就不是第一个元素，这样也会打乱整个跳跃表的理想结构，因此我们需要打个补丁：即把一个负无穷值插到所有链表头，这样就算插入了一个最小的元素也能保证每个表是以负无穷开始，即每个链表都可以从最左边开始。

在课堂上，通过实验表明算法2似乎在平均情况下可以得到一个很好的跳跃表，其实不仅仅是平均情况可以得到一个好的跳跃表，在绝大多数情况都可以得到一个好的跳跃表.

可以证明，得到一个好的跳跃表的概率P>=1-O(1/n^a) xa0这里a是一个介于0到1的参数，与n有关，在课堂的最后，老师花了尽20分钟的时间来证明，具体证明方式我们这里略过（其实是我根本没看懂其证明过程逃~~）

13.平摊分析，表的扩增，势能方法

先通过表的扩增这一例子来引入今天的主题——平摊分析和势能分析

一个哈希表的大小应该为多少比较合适？

theta（n）比较合适

可是万一我们不知道n是多大呢

使用动态表解决 xa0溢出就建立一个大小翻倍的空间，然后复制过去

这样做插入的最坏时间复杂度为n

让我们看看平均的时间复杂度，每次基本插入操作为1，空间溢出时需要开一个更大一倍的空间，并复制当前的元素过去，所以空间溢出时所需要的时间为2的i次方（i为第几次溢出）

所以其真实的时间消耗为n+sigma(2^i) xa0 0<=i<=lg(n+1) xa0即3n

因此其实插入的时间复杂度为O（1）